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Animations de notions mathématiques.

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Limite finie à l'infini

1. Les définitions
(un) converge vers L (rappel)
f (x) tend vers L quand x tend vers +¥ ou -¥
 
x tend vers +¥
x tend vers -¥
Dans les graphiques, les points représentés par une marque épaisse peuvent être déplacés avec la souris
On dit que (un) converge vers L si :
quel que soit l'intervalle ouvert I centré en L ,

I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain indice.
Par définition, on dit alors que la limite de un est L ou que (un) converge vers L.
On note
lim(un) = L
On dit que f (x) tend vers L quand x tend vers +¥ si :
quel que soit l'intervalle ouvert I centré en L , il
existe x0 tel que I contient f(x) pour tout x>x0
Par définition, on dit alors que la limite de f(x) quand x tend vers +¥ est L .
On note
On dit que f (x) tend vers L quand x tend vers +¥ si :
q
uel que soit l'intervalle ouvert I centré en L , il existe x0 tel que I contient f(x) pour tout x<x0
Par définition, on dit alors que la limite de f(x) quand x tend vers -¥ est L .
On note
2. Asymptote horizontale

· Traduction graphique de l'existence d'une limite L à l'infini..

Notons F la courbe de f.
Dire que f(x) tend vers L quand x tend vers +¥ (resp. -¥), c'est dire que f(x)-L tend vers 0 dans les mêmes conditions.

Or f(x) - L = yM - yP où M est le point d'abscisse x de F et P le point de même abscisse de la droite D d'équation y=L, ce qui représentre la distance (algébrique) entre les deux points.

Dire que f(x) tend vers L quand x tend vers +¥ (resp. -¥) est donc équivalent à dire que MP peut être rendu aussi proche de 0 qu'on le veut dès que x est supérieur à un réel x0 (resp. x<x0).

Remarque : la position de F par rapport à son asymptote est donnée par le signe de f(x)-L.

On dit que la droite D d'équation y = L est asymptote à la courbe F en +¥ (resp. -¥).
Puisque
D est parallèle à l'axe des abscisses, on parle d'asymptote horizontale.
3. Le cas des suites définies par un=f(n)

La propriété
"si la fonction f a pour limite L en +¥ , alors la suite un converge vers L"
est vraie.

Sa réciproque est fausse ! L'exemple ci-contre va vous en convaincre.

 

 

La suite définie par converge vers 1
En effet, cos(2pn)=1 pour tout n et
La fonction définie par f(x)= n'a pas de limite en +¥

 

 

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