N et R deux ensembles différents - Correction partie 1
Fermez cette fenêtre après lecture

1. Les nombres qui conviennent sont les nombres x qui vérifient 1,9999 < x < 2. Il en existe une infinité, par exemple 1,99995 convient.
Plus généralement, si a < b, alors la moyenne arithmétique c de a et b vérifie a < c < b.

2. Les solutions sont les nombres réels distincts de 3 tels que 3 - 10^-8 < x < 3 + 10^-8.
Par exemple : 3 + 10^-9 convient.
Plus généralement, on pourra toujours trouver un nombre réel distinct de 3 aussi proche qu'on le veut de 3.

3. Le plus grand nombre de [ -2 ; 5 ] est 5 !
Par contre il n'existe pas de nombre réel de [ -2 ; 5 [ qui soit plus grand que tous les autres.
En effet, s'il en existait un (notons-le a), alors -2 £ a < 5 et , pour tout x de [ -2 ; 5 [, -2 £ a.
Or (a+5)/2 conviendrait aussi et il est strictement supérieur à a !

4. On ne peut pas classer l'ensemble de tous les nombres réels dans l'ordre croissant.
En effet, entre deux nombres réels différents, on peut toujours en placer un troisième distinct des deux précédents (la moyenne de ces deux nombres par exemple).

5. L'ensemble que l'on obtient est le même que celui d'où on était parti !
En effet, tout nombre réel est le double d'un nombre réel !

Source : académie de grenoble.