Activité n°1 - Correction et synthèse
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Correction

· La relation f(x+1) = f(x) + 2x + 1 pemet de calculer f(x+1) quand on connaît f(x) ou f(x) quand on connaît f(x+1).

En remplaçant, dans la relation, x par
on obtient
0
f(1) = f(0 + 1) = f(0) + 1 = -3
1
f(2) = f(0 + 1) = f(1) + 3 = 0
2
f(3) = f(2 + 1) = f(2) + 5 = 5
3
f(4) = f(3 + 1) = f(3) + 7 = 12

Par cette méthode, on peut ainsi déterminer les images par f d'un entier naturel "pas trop grand".
Par contre, les données ne permettent pas de calculer l'image par f d'un nombre réel autre qu'un entier naturel. Il n'est donc pas possible de connaître f(7,5) par exemple.

· Construisons les points de coordonnées (0,f(0)), .......(4,f(4)).

On remarque que les 5 points appartiennent à la parabole d'équation y=x²-4.

 

 

 

· La fonction définie par f(x) = x² - 4 semble être une fonction possible. Démontrons-le.

- Elle vérifie f(0) = -4.
f(x+1) = (x+1)² - 4 = x² + 2x + 1 - 4 = x² + 2x - 3
f(x) + 2x + 1 = x² - 4 + 2x + 1 = x² + 2x -3
- Donc f(x+1) = f(x) + 2x + 1.
C'est donc démontré
Attention ! Ce n'est pas la seule fonction qui convienne.
Voici, par exemple la représenation graphique de la fonction g définie par g(x) = (x + sin(px))² - 3.
Vous pouvez facilement montrer que g vérifie aussi les deux conditions :
g(0 )= -4 et g(x+1) = g(x) + 2x + 1



Source : académie de grenoble.