Activité n°2 - Correction et synthèse
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Correction

· Dire que la fonction g est définie dans N, signifie que seuls les entiers naturels (et tous les entiers naturels) ont une image par g.

La relation g(n+1) = g(n) + 2 permet de calculer l'image d'un entier naturel quand on connaît l'image de l'entier précédent ( on ajoute 2) ou celle de l'entier suivant (on soustrait 2).

Connaissant g(3) = 1, on peut donc, de "proche en proche", calculer l'image par g de n'importe quel entier naturel.

n
0
 
1
 
2
 
3
 
4
 
5
 
6
 
.........
n
........
g(n)
-5
¬
-2
-3
¬
-2
-1
¬
-2
1
®
+2
3
®
+2
5
®
+2
7
®
+2
.........
?
........

· Calcul de g(1000).

Il est difficilement envisageable de calculer les images de tous les entiers qui précèdent 1000 !
Peut être est-il possible de trouver l'expression de g(n) en fonction de n ?

Si on part de n = 0
g(1) = -5 + 1´2
g(2) = -5 + 2´2
g(3) = -5 + 3´2
g(4) = -5 + 4´2
...........
Il semble que g(n) = -5 + n´2
Si on part de n = 3
g(4) = 1 + 1´2
g(5) = 1 + 2´2
g(6) = 1 + 3´2
g(7) = 1 + 4´2
.........
Il semble que g(n) = 1 + (n-3)´2 = -5 + n´2

On peut alors calculer g(1000) : g(1000) = -5 + 1000´2 = 1995

· Comment être sûr que l'expression de g(n) reste valable pour toute valeur de n ?

Considérons la fonction h définie dans N par h(n) = -5 + 2n.
h(3) = -5 + 2´2 = 1
h(n+1) = -5 + 2(n+1) = -5 + 2n +2 = h(n) + 2.
La fonction h vérifie donc les deux relations qui définissent g.
Comme ces relations ne définissent qu'une seule fonction dans N, on peut conclure que pour tout n de N, h(n) = g(n).

Synthèse

· Une relation permettant de définir l'image du suivant d'un entier naturel à partir de l'image de cet entier naturel s'appelle une relation de récurrence.
La relation g(n+1) = g(n) + 2 est donc une relation de récurrence.

· Une fonction f , définie dans N , est bien déterminée* par la donnée de l'image par f d'un entier particulier et une relation de récurrence.

* Cela veut dire que l'on peut calculer l'image par f de n'importe quel entier nature ou encore qu'il n'existe qu'une seule fonction vérifiant ces conditions.




Source : académie de grenoble.