Activité
n°2 - Correction et synthèse
Fermez
cette fenêtre après lecture
| Correction |
· Dire que la fonction g est définie dans N, signifie que seuls les entiers naturels (et tous les entiers naturels) ont une image par g.
La relation g(n+1) = g(n) + 2 permet de calculer l'image d'un entier naturel quand on connaît l'image de l'entier précédent ( on ajoute 2) ou celle de l'entier suivant (on soustrait 2).
Connaissant g(3) = 1, on peut donc, de "proche en proche", calculer l'image par g de n'importe quel entier naturel.
|
n
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
.........
|
n
|
........
|
|||||||
|
g(n)
|
-5
|
¬
-2 |
-3
|
¬
-2 |
-1
|
¬
-2 |
1
|
®
+2 |
3
|
®
+2 |
5
|
®
+2 |
7
|
®
+2 |
.........
|
?
|
........
|
· Calcul de g(1000).
Il
est difficilement envisageable de calculer les images de tous les entiers
qui précèdent 1000 !
Peut être est-il possible de trouver l'expression de g(n) en fonction
de n ?
|
|
On peut alors calculer g(1000) : g(1000) = -5 + 1000´2 = 1995
· Comment être sûr que l'expression de g(n) reste valable pour toute valeur de n ?
Considérons
la fonction h définie dans N par h(n) = -5 + 2n.
h(3) = -5 + 2´2 = 1
h(n+1) = -5 + 2(n+1) = -5 + 2n +2 = h(n) + 2.
La fonction h vérifie donc les deux relations qui définissent
g.
Comme ces relations ne définissent qu'une seule fonction dans N,
on peut conclure que pour tout n de N, h(n) = g(n).
| Synthèse |
|
·
Une relation
permettant de définir l'image du suivant d'un entier naturel
à partir de l'image de cet entier naturel s'appelle une relation
de récurrence. · Une fonction f , définie dans N , est bien déterminée* par la donnée de l'image par f d'un entier particulier et une relation de récurrence. * Cela veut dire que l'on peut calculer l'image par f de n'importe quel entier nature ou encore qu'il n'existe qu'une seule fonction vérifiant ces conditions. |
Source : académie de grenoble.