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Suites : Récurrence


Qu'appelle-t-on raisonnement par récurrence ? - Quelques exemples de démonstrations
Quand faut-il utiliser un raisonnement par récurrence ?
Il n'y a pas de réponse simple et définitive à cette question.
Cependant, se poser quelques "bonnes questions" permet de faire un premier tri.
A noter que les énoncés indiquent le plus souvent, s'il s'agit d'utiliser cette méthode de démonstration.
Se poser les bonnes questions
Voici les 6 propriétés que l'on cherche à démontrer. Est-il envisageable d'utiliser un raisonnement par récurrence ?
 
Le fait que la propriété "rouge" soit vraie ou fausse dépend-il d'un entier naturel ?
Si oui à la question précédente, à priori, y a-t-il une méthode directe de démonstration ?
Un raisonnement par récurrence est-il exclu ? Est-il bien adapté ?
Pour tout n de N,
oui
oui
Résolution directe de l'inéquation
non - non
Pour tout x de R+,
non
 
oui
La suite U est définie par
et, pour tout n de N,
Pour tout n de N, £3
oui
non
non - oui
La suite V est définie par
et, pour tout n de N,
Pour tout n de N, ³2
oui

oui

Il suffit de remarquer que est positif et donc ³ > 2
oui - non
Pour tout n de N*,
oui
non
non - oui
La fonction f est définie dans R+* par .
Pour tout n de N*, la dérivée nième de f est définie par
oui
non
On ne peut pas calculer directement la dérivée nième sans connaître la dériveé n-1 ième
non - oui

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Source : académie de grenoble.

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