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Méthode d'Euler pour la construction de la fonction exponentielle.
Pour une utilisation plus générale de la méthode d'Euler (par exemple, résoudre f'(x) = 1/x avec f(1) = 0), utiliser cette applet.

Cadre de travail
On se demande s'il existe une fonction f, dérivable sur IR telle que f ' = f et f(0) = 1.
La méthode d'Euler va nous permettre de construire point par point une courbe "approchée" d'une telle fonction f.

Approximation affine de f et Premières Conséquences
Soit a un réel. L'approximation affine de f au voisinage de a donne, pour tout réel x proche de a :

f (x) » f (a) + f' (a) ( x - a).


Mais comme la fonction étudiée f est égale à sa dérivée, pour tout réel x proche de a

f (x) » f (a) + f (a) ( x - a).


L'expression "x proche de a" pouvant s'écrire sous la forme x = a + h où h près de 0, nous obtenons alors, pour tout réel h proche de 0 :

f (a + h) » f (a)(1 + h).

Méthode d'Euler
Remarque : vu que f(x0) = 1, les formules précédentes donnent : f(x0 + n.h) » (1 + h)n.


Principe de construction d'une solution approchée de l'équation y' = y et y(0) = 1
On place ensuite, par exemple avec le logiciel GéoPlan, les points A0(x0 ; y0) ; A1(x1 ; y1) ; A2(x2 ; y2) ; . ; An(xn ; yn).

La courbe constituée des segments [A0A1], [A1A2], ... ,[An-1An] est une courbe approchée de notre solution !


 Mode d'emploi  
> Touche s pour construire les points suivants.
> Touche h puis flèche gauche ou flèche droite pour modifier la valeur de h.
> Touche < ou Touche > pour zoomer.
> Touche + ou Touche - pour modifier le pas de h.
> Touche c pour afficher la vraie solution.
> Touche x pour modifier la valeur de x0.
La valeur de y0 sera adaptée pour toujours tomber sur la fonction exponentielle.