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Suites adjacentes
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1. La définition
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Soit
U et V
deux suites définies dans N.
Dire que U
et V sont adjacentes,
c'est dire que
·
l'une est croissante
·
l'autre est décroissante
·
lim (V-U)=0
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Dans le
cas où les deux suites ne sont définies qu'à partir
d'un certain indice, il suffit d'adapter la défnition.
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Exemple
n°1
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Exemple
n°2
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Exemple
n°3
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·
U est croissante, V est décroissante
· lim
(V-U)=0
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·
U est croissante, V est croissante
· lim
(V-U)=0
|
·
U est croissante, V est décroissante
·
lim (V-U)=0,4
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Les
deux suites sont donc adjacentes
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Les
deux suites ne sont donc pas adjacentes
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Les
deux suites ne sont donc pas adjacentes
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| 2.
Propriété concernant la position relative des termes
des deux suites. |
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Soit
U et V
deux suites définies dans N.
Si U et V
sont adjacentes avec U
croissante et V décroissante,
alors, pour tout n
de N, un
£ vn.
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·
Démonstration.
L'idée
directrice est la suivante :
si on suppose
qu'il existe un indice p
tel que up
> vp,
alors, la limite de U-V
ne peut pas être nulle.
Le schéma ci-dessous permet de comprendre pourquoi |
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La
démonstration rédigée |
Or
cette limite est nulle puisque les suites sont adjacentes par hypothèse,
Donc, pour tout n de
N,
un £
vn. |
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·
Remarque.
De cette propriété,
on déduit aussitôt que
u0
£ v1
£ v2
£ ................ .
£ un
£
..................... £
vn £
.....................v2
£
v1 £
v0
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| 3.
Théorème de convergence |
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Soit
U et V
deux suites définies dans N.
Si U et V
sont adjacentes , alors, U
et V convergent et
elles ont la même limite .
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·
Démonstration.
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De
la remarque ci-dessus on déduit que U
est majorée (par v0
,
par exemple) et que V
est minorée (par u0
par exemple).
Le théorème de convergence relatif aux suites croissantes
majorées ou décroissantes minorées s'applique.
Donc U et V
convergent. Notons L
et L' leurs limites.
De plus, lim(U-V)=0
puisque U et V
sont adjacentes, et lim(U-V)=lim(U)-lim(V)=L-L'.
Donc L=L'.
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Source : académie de grenoble.
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