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Continuité

Le problème posé - Définition et propriétés - Le théorème des valeurs intermédiaires

· La définition

f est une fonction définie dans un intervalle I, et a est un réel de I.

On dit que f est continue en a, Si f a une limite en a qui est égale à f(a).
Dire que f est continue dans l'intervalle I, c'est dire que f est continue en tout réel a de I.

· Une traduction graphique de la continuité

Dans les "cas simples", la continuité d'une fonction dans un intervalle I se traduit par le fait que l'on peut tracer sa courbe F dans I sans lever le crayon.

Un exemple qui montre les "limites" de cet énoncé.

· Exemples et contre-exemples

f(x)=sin(x)+2

f(x)=E(x)

f(x)=tan(x)

f est continue dans tout intervalle I

Si a est entier, f n'est pas continue en a.
f est continue dans tout intervalle I qui ne contient pas d'entier.

f est continue dans tout intervalle I où elle est définie

· Les propriétés disponibles pour justifier qu'une fonction est continue dans un intervalle I

On admet que les fonctions usuelles qui suivent sont continues dans tout intervalle où elles sont définies :

polynômes	fonctions rationnelles	sinus	cosinus	tangente
racine carrée	inverse	valeur absolue	logarithme	exponentielle

On dispose de la propriété suivante (admise) :

Toute fonction obtenue à partir des fonctions usuelles précédentes et des opérations +, ´, o (composée) , est continue dans tout intervalle I où elle est définie

· Quelles sont les fonctions pour lesquelles des problèmes vont se poser ?

Les fonctions qui sont construites à l'aide de la fonction partie entière, celles définies par morceaux, les fonctions quotients...

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