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Continuité
Le problème posé - Définition et propriétés - Le théorème des valeurs intermédiaires


1. Le théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction.
Si f est continue dans [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de [a;b] tel que f(c)=k .

· Cette propriété a été conjecturée dans la page d'introduction.
· Sa démonstration fait appel à deux suites adjacentes définies par la méthode de dichotomie.

· Ce théorème traduit de façon rigoureuse la propriété suivante :
                             A et B sont deux points d'abscisses a et b de la courbe F d'une fonction f.
                             Si on peut tracer F entre A et B sans lever le crayon, alors toute droite d'équation y=k où k est un réel compris entre A et B coupe la courbe F en au moins un point.

· La continuité de f est une condition suffisante pour assurer l'existence de c, elle n'est pas nécéssaire (voir l'exemple 4 de la page d'introduction).
2. Le cas d'une fonction continue strictement monotone dans [a:b]
Soit f une fonction.
Si f est continue et strictement monotone dans [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c de [a;b] tel que f(c)=k .
La démonstration découle très simplement de la définition de la stricte monotonie.
· La continuité et la stricte monotonie de f sont des conditions suffisantes pour assurer l'existence et l'unicité de c, elle ne sont pas nécessaires (un exemple).
· Comment démontrer qu'une fonction f est strictement monotone dans [a;b] ?

Si f est dérivable, il n'est pas nécessaire que la fonction dérivée f' de f soit strictement positive dans [a;b] ou strictement positive dans [a;b].
La fonction cube, par exemple, est strictement croissante dans R, sa dérivée s'annule en 0.

En pratique, pour qu'une fonction dérivable dans [a;b]soit strictement croissante (resp. décroissante) dans [a;b], il suffit que f' soit strictement positive (resp. strictement négative) dans [a;b]sauf éventuellement en des points isolés de [a;b].

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