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Suites : Mode de Génération


· La suite est définie par son terme général
On sait calculer directement un quand on connaît n
Il existe une fonction f définie dans un intervalle [n0 ; +¥ [ telle que un = f(n)
ex. : un = 2n² + 1
Il n'existe pas de fonction f définie dans un intervalle [n0 ; +¥ [ telle que un = f(n)
ex. : un = (-2)n
· La suite est définie par une relation de récurrence
On connaît le premier terme et le procédé qui permet de calculer un terme de la suite à partir du terme précédent.
Il existe une fonction f telle que un+1 = f(un)
ex. : un+1 = 2un + 1et u0 = 1
Il n'existe pas de fonction f telle que un+1 = f(un)

· Remarque.
Quand la suite est définie par une relation par récurrence, le problème se pose de savoir si on peut toujours calculer le terme suivant.
Voici trois exemples pour bien comprendre.

Exemple 1

La suite u est définie par u0 = 1 et un+1 = (un)²
Tout nombre réel possède un carré, donc on pourra toujours calculer un+1 quand on connaît un. La suite u est donc définie dans N.

Exemple 2

La suite u est définie par = 0,5 et
Si un < -1/2, alors 2un + 1 < 0 et on ne pourra pas calculer un.
Cependant, il est clair que un est toujours positif, cette situation ne se produira donc pas et la suite u est définie dans N.
Exemple 3

La suite u est définie par = -5/3 et
Calculons les premier termes : on obtient u1 =-3/2 ; u2 =-2 ; u3 = -1. On ne peut donc pas calculer u4.
La suite u n'est donc définie que pour n < 4.

En pratique, l'énoncé vous indiquera que la suite est définie pour tout n ³ n0, cette propriété étant admise.


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Source : académie de grenoble.

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