Suites : Vocabulaire et Notations

On définit par récurrence dans N la suite d'entiers (u_n) de la façon suivante :

a=u₀ est un entier naturel non nul quelconque.
Pour tout n de N, si u_n est pair, alors u_n+1=u_n/2 et si u_n est impair, alors u_n+1=3u_n+1.

Dans le cadre ci-contre, la suite u_n est représentée graphiquement (500 premiers termes).

Il semble que, quelle que soit la valeur de a=u₀, la suite soit périodique de période 3 (séquence 4, 2, 1...) à partir d'un certain rang. Cette propriété est-elle vraiment générale ?

Ce problème à l'énoncé très simple posé en 1950 à l'université américaine de Syracuse - d'où son nom - n'a pas encore été résolu.

Il s'agit dans cette activité de découvrir quelques propriétés plus modestes de cette suite.

1. Quel est le comportement de la suite pour u(0) = 1, puis 2, enfin 4 ?
Plus généralement, quel est le comportement de la suite si u(0) = 2k ?

Correction

2. Déterminez toutes les suites telles que u(4) = 4, puis 3.

Correction

3. Quel est le comportement de la suite pour u(0) = 3, puis 6, enfin 12 ?
Plus généralement, quel est le comportement de la suite si u(0) = 3.2ⁿ ?

Correction