Comportements d'une suite

u_n = 2n - 1

u_n = 1/n

u_n = n² -5n

u_n+1 = 0.5u_n et u₀ = -1

Il est facile d'adapter ces définitions dans le cas où la suite est définie à partir d'un indice n₀ .

Il est souvent intéressant d'utiliser la propriété suivante :

Exemple.
Dans l'exemple ci-contre, la suite est définie par u_n = 3n² - 16n + 20. La fonction f est donc la fonction trinôme définie par f(x) = 3x² -16x + 20.
La représentation graphique de la suite u est alors l'ensemble des points de F dont l'abscisse est dans N.
La fonction f est croissante dans [ 3 ; +¥ [, la suite est donc croissante à partir de l'indice 4.
On peut remarquer que u₃ = -1 et u₄ = 4. La suite est donc en fait croissante à partir de l'indice 3.

Attention ! .
La réciproque de la propriété ci-dessus liant les variations de f et celles de u est fausse.
En particulier, la fonction f peut être non monotone dans R⁺ alors que la suite u définie par u_n = f(n) est monotone.
Pour vous en convaincre, voyez l'exemple ci-contre où f(x) = .
La suite est alors définie par = f(n) = = .

La suite u est définie par = et la donnée de .
Elle est donc définie par une relation de récurrence de la forme =où f(x) =
Vous pouvez observer que selon la valeur de u₀, la suite semble être croissante dans N ou décroissante dans N alors que la fonction f est croissante dans R⁺.

Conclusion.