Comportements d'une suite

· u_n = 3 + (-1)ⁿ

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
un	3	2	3	2	3	2	3	2	3	2

· u_n+1 = 1/u_{n et} u₀ = 2

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
un	2	1/2	2	1/2	2	1/2	2	1/2	2	1/2

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
un	1	0,5	-0,5	-1	-0,5	0,5	1	0,5	-0,5	-1

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
un	16	8	4	2	1	4	2	1	4	2

Cette définition est bien cohérente avec celle d'une fonction périodique de période p.

La fonction f est définie par f(x) = cos(ax), a étant un nombre réel ; f est périodique de période 2p/a
La suite u est définie dans N par u_n = cos(an).
Elle est représentée dans le cadre de droite.
Vous observez que selon les valeurs de a, la suite peut être périodique ou non
Vous observez aussi que, dans la cas où elle est périodique, sa période est parfois celle de f, parfois un multiple de cette période.

Propriété.

Si la fonction f est périodique de période p et si p est un entier, alors la suite u est périodique de période p.

La suite u est définie par = et = 0 .
Elle est donc définie par la relation de récurrence = où f(x) = .
Elle est représentée graphiquement dans le cadre de droite.
On observe que la suite u est périodique de période 3 (c'est d'ailleurs encore vrai pour d'autres valeurs de u₀).
Comment le démontrer ?
Il s'agit de montrer que, pour tout n _, u_{n+3 =} u_n ce qui est plutôt difficile.
Calculons les premier termes de la suite u, on obtient :
u₁ = f(u₀) = -2 , u₂ = f(u₁) = 2 , u₃ = f(u₂) = 0 = u₀ , u₄ = f(u₃) = f(u₀) = -2......
Le fait que u₃ = u₀ suffit à affirmer que la suite est périodique de période 3 puisque u_n+1 ne dépend que de u_n.

Propriété.