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Pour utiliser les animations suivent, vous aurez besoin que les controles activeX de géoplan soient installés (et acceptés par votre navigateur).
Testez votre installation de Géoplan. Méthode d'Euler pour la construction de la fonction exponentielle.
Pour une utilisation plus générale de la méthode d'Euler
(par exemple, résoudre f'(x) = 1/x avec f(1) = 0), utiliser cette applet.
Cadre de travail
On se demande s'il existe une fonction f, dérivable sur IR telle que
f ' = f et f(0) = 1.
La méthode d'Euler va nous permettre de construire point par point une courbe "approchée" d'une telle fonction f. Approximation affine de f et Premières Conséquences
Soit a un réel. L'approximation affine de f au voisinage de a donne,
pour tout réel x proche de a :
f (x) » f (a) + f' (a) ( x - a). Mais comme la fonction étudiée f est égale à sa dérivée, pour tout réel x proche de a f (x) » f (a) + f (a) ( x - a). L'expression "x proche de a" pouvant s'écrire sous la forme x = a + h où h près de 0, nous obtenons alors, pour tout réel h proche de 0 : f (a + h) » f (a)(1 + h). Méthode d'Euler
Principe de construction d'une solution approchée de l'équation y' = y et y(0) = 1
On place ensuite, par exemple avec le logiciel GéoPlan, les points A0(x0 ; y0) ;
A1(x1 ; y1) ; A2(x2 ; y2) ;
. ; An(xn ; yn).
La courbe constituée des segments [A0A1], [A1A2], ... ,[An-1An] est une courbe approchée de notre solution ! Représentation graphique d'une solution approchée de
l'équation y' = y et y(0) = 1 : fonction exponentielle
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