Suites arithmétiques et gépmétriques

Suites géométriques - Suites arithmétiques - Comportement à l'infini - Construction des premiers termes

· Définition et représentation graphique

Définition

Soit la suite u définie à partir de l'indice n₀.
Dire que cette suite est géométrique c'est dire qu'il existe un réel q indépendant de n tel que pour tout n ³ n₀, u_n+1 = q.u_n.
Le nombre q est appelé la raison de la suite géométrique u .

	´ q		´ q		´ q				´ q
u₀	®	u₁	®	u₂	®	u₃	......	u_n	®	u_n+1	.......

Cas particuliers

q = 1	q = 0	q = -1
La suite est constante	La suite est nulle à partir de l'indice n₀+1.	La suite est périodique de période 2

Premiers termes et représentation graphique (on suppose ici que la suite est définie dans N)

Clic sur "q=" et "u0 = " et flèches de direction pour modifier q et u₀. Clic sur le graphique et flèche de direction pour modifier n

· Les variations

q < 0

0 < q

La suite est monotone

La suite n'est pas monotone

0 < q < 1

1 < q

u0 > 0, alors u est décroissante
u0 < 0, alors u est croissante....

u0 > 0, alors u est croissante....
u0 < 0, alors u est décroissante

Touche Q et flèches de direction pour faire varier la raison q - Touche N et flèches de direction pour faire varier n - u₀ peut être modifié avec la souris

Démonstration de ces propriétés

· L'expression du terme général

	´ q		´ q		´ q
u₀	®	u₁ = u_0.q¹	®	u₂= u_0.q²	®	u₃= u_0.q³	......	u_n= u_0.qⁿ

Le terme général de la suite géométrique u de premier terme u₀ et de raison q est u_n = u₀.qⁿ .

Réciproquement, la suite de terme général u_n = a.bⁿ est la suite géométrique de raison b et de premier terme a

Attention ! Ce résultat n'est valable que si le premier indice est 0. Par exemple, si le premier indice est 3 :

	´ q		´ q		´ q
u₃	®	u₄ = u_3.q¹	®	u₅= u_3.q²	®	u₆= u_3.q³	......	u_n= u_3.q^n-3

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Source : académie de grenoble.

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