.

Suites convergentes, Suites divergentes


Le problème posé - Les définitions - Limite infini - Les outils disponibles - Le cas des suites géométriques et arithmétiques


· Quelques observations
On s'intéresse à la suite u définie dans N par .
Clic sur les graphiques et
touche L pour lancer une animation - touche Echap pour stopper cette animation
1. Soit l'intervalle ouvert centré en 0.4 de largeur 0.2
Il semble qu'à partir de n =100 (environ) , il contient tous les termes de la suite u
2. Cette fois, l'intervalle ouvert toujours centré en 0.4 a pour largeur 0.1
Il semble qu'à partir de n =200 (environ) , il ne contient pas les termes de la suite u
3. L'intervalle ouvert est centré en 0.33 a pour largeur 0.1
Il semble qu'à partir de n =70 (environ) , il contient tous les termes de la suite u
4. L'intervalle ouvert centré en 0.33 a pour largeur 0.002
Il semble qu'à partir de n =1450 (environ), il ne contient pas les termes de la suite u
On est amené à se poser le problème suivant :

Peut-on trouver un nombre L tel que tout intervalle centré en L aussi "petit" soit-il, contienne tous les termes de la suite à partir d'un certain indice ?

Les animations qui précèdent montrent que L = 0.4 et L = 0.33 ne conviennent pas.

En fait, dans le cas de cette suite c'est L = 1/3 qui convient (on l'admet pour l'instant).

L'animation ci-contre semble confirmer cette affirmation.

· Le point de vue graphique sur le problème posé
Le problème posé peut alors s'énoncer ainsi :

Peut-on trouver un nombre L tel que, si B est une bande horizontale centrée en L aussi "étroite" soit-elle, tous les points de coordonnées (n; un) soient dans cette bande à partir d'un certain indice ?

 

 

Touche L pour lancer une animation
Le
centre et l'extrémité de l'intervalle peuvent être déplacés avec la souris

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Source : académie de grenoble.

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