Soit une suite
u.
· S'il existe
un nombre réel L tel que tout intervalle ouvert centré
en L contienne tous les termes de la suite u à partir d'un
certain indice,
alors on dit que la suite est convergente
et qu'elle converge vers L .
On dit aussi que la suite u a pour limite
L et on note ou
.
· Sinon, on dit
que la suite u est divergente.
Exemples
et contre-exemples
La
suite u est définie par un = 1 - 1/n
La
suite v est définie par vn = (-1)n(1
+ 1/n)
La
suite w est définie par wn =
Dans
chaque cas, la touche L
lance une animation
L'extrémitéde
l'intervalle peut être déplacé avec la souris
Le
centrede
l'intervalle peut être déplacé avec la souris
Quel
que soit l'intervalle ouvert I centré en L = 1,
I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain
indice.
Soit
l'intervalle ouvert I centré en L
et de largeur 1.
Il n'existe pas de valeur de L telle que I contienne tous les
termes de la suite à partir d'un certain indice.
Soit
l'intervalle ouvert I centré en L et de largeur 2.
Il n'existe pas de valeur de L telle que I contienne tous les
termes de la suite à partir d'un certain indice.
Donc la
suite u converge vers 1
On dit aussi que la limite de un
est 1
On note lim(un)
= 1
Soit
une suite u qui converge vers L1
et L2.
·
Supposons L1 ¹ L2.
Les deux nombres
étant distincts, il existe deux intervalles ouverts disjoints
I1 et I2 centrés en L1 et
L2.
Par définition de "u converge vers L1",
I1 contient tous les termes de la suite u à partir
d'un certain indice N.
Par définition de "u converge vers L2",
I2 contient tous les termes de la suite u à partir
d'un certain indice P.
Comme I1 et I2 sont disjoints, les termes
dont les indices sont supérieurs à N et à P
ne peuvent se trouver à la fois dans I1 et dans
I2.
· L'hypothèse
L1¹ L2 est
donc à rejetter. Donc
L1
= L2.
On peut donc
énoncer la propriété suivante :
Si
une suite est convergente, alors sa limite est unique
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