Suites convergentes, suites divergentes

Soit une suite u.
On suppose qu'il existe deux suites v et w telles que,

· pour tout n, v_n £ u_n £ w_n
· lim (v_n ) = lim (w_n ) = L .

Soit I un intervalle centré en L.
Puisque v converge vers L, I contient tous les termes de v à partir d'un certain indice N
de même w converge vers L, donc I contient tous les termes de w à partir d'un certain indice P.
Comme v_n £ u_n £ w_n , u_n sera donc aussi dans I à partir de l'indice N ou P selon que N³P ou P>N.
(Dans l'exemple ci-contre qui illustre cette démonstration, N = P).

En résumé.
Tout intervalle I centré en L contient tous les termes de la suite u à partir d'un certain indice.
La suite u converge donc aussi vers L

On peut donc énoncer la propriété suivante qui porte le nom de théorème des gendarmes.

Remarque : dans les deux cas, il suffit que la relation v_n £ u_n soit vraie à partir d'un certain indice