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Suites convergentes, suites divergentes


Le problème posé - Les définitions - Limite infinie - Les outils disponibles - Le cas des suites géométriques et arithmétiques

Les définitions
Soit une suite u.
· Si tout intervalle de la forme [A ; +¥ [ contient tous les termes de la suite u à partir d'un certain indice,
alors on dit que la suite a pour limite +¥ et on note = +¥ .
· Si tout intervalle de la forme ] -¥ ; A ] contient tous les termes de la suite u à partir d'un certain indice,
alors on dit que la suite a pour limite -¥ et on note = -¥ .

Remarque : une suite qui a pour limite +¥ ou -¥ est divergente.
Exemples et contre-exemples
La suite u est définie par un =
La suite v est définie par vn = - n + 3sin(n)
La suite w est définie par wn = 1 + (-1,04)n
Dans chaque cas, la touche L lance une animation - L'extrémité de l'intervalle peut être déplacé avec la souris
Quel que soit l'intervalle I = [A ; +¥ [
I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain indice.
Quel que soit l'intervalle I =] - ¥ ; A]
I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain indice.
L'intervalle [1 ; +¥ [ ne contient pas les termes d'indice impair. Il ne contient donc pas tous les termes de la suite w à partir d'un certain rang.
Donc la suite u a pour limite +¥
On note lim(un) = +¥
Donc la suite v a pour limite -¥
On notelim(un) = -¥
Donc la suite w n'a pas pour limite +¥.
Elle n'a d'ailleurs pas non plus pour limite -¥.
Comme cette suite n'est pas convergente,
la suite w n'a pas de limite, ni finie, ni infinie.
 

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Source : académie de grenoble.

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