Pour utiliser les animations suivent, vous aurez besoin les controles activeX de géoplan soient installés. Testez votre installation de Géoplan.
La
définition de fonction dérivée
> Soit f une fonction dérivable
dans un intervalle I :
la fonction dérivée de f
est "tout simplement" la fonction notée f'
qui à tout x de
I, associe le nombre
dérivé de f
en x.
> Graphiquement,
c'est la fonction qui à tout réel x
de I associe le coefficient
directeur de la tangente au point M
d'abscisse x de F (dans
les graphiques de cette page, f' est représentée en-dessous de f).
> A retenir
:
x
®
abscisse
du point M
f(x)
®
ordonnée
du point M
f'(x)
®
coefficient
directeur de la tangente en M
à F
Touche
L pour lancer une
animation
Le
lien entre dérivée et variations
> Si, dans
un intervalle J, la fonction
dérivée est positive,
alors toutes les tangentes aux points de F
dont l'abscisse est dans J
ont un coefficient directeur positif.
Il est naturel de conjecturer que, dans ce cas, la fonction est croissante
dans J.
> Si, dans
un intervalle J,
la fonction dérivée est négative, alors
toutes les tangentes aux points de F
dont l'abscisse est dans J
ont un coefficient directeur négatif.
Il est naturel de conjecturer que, dans ce cas, la fonction est décroissante
dans J.
Touche
L pour lancer une
animation
Touche
L pour lancer une
animation
Fonction
dérivée et extremum
Dans
chaque exemple, touche
Lpour
lancer une animation, vous pouvez utiliser aussi les flèches
de direction du clavier. Dans les exemples suivants, les courbes des fonctions dérivées sont dessinées en bleu,
dans un nouveau repère de centre O2.
Exemple
1
f(1)
est un maximum de f
f' s'annule en
changeant de signe en 1
Exemple
2
f(1)
est un minimum de f
f' s'annule en
changeant de signe en 1
Exemple
3
f' s'annule en
2 mais
f(2)
n'est pas un extremum de f f'
ne change pas de signe en 2
Exemple
4
f(3)
est un minimum de f,
mais f
n'est pas dérivable en 3.
Ces
exemples montrent, en particulier,
que la condition f'(x0)=0 ne suffit
pas à assurer que f(x0)est
un extremum de f.
A
retenir
On admet le théorème
suivant (dont la réciproque est vraie d'ailleurs) :
Soit f
une fonction dérivable dans un intervalle I
Si f' est positive
dans un intervalle I,
alors f est croissante
dans I.
Si f' est négative
dans un intervalle I
, alors f est décroissante
dans I.
Si f'
s'annule et change de signe en x0,
alors f(x0)
est un extremum local de f
