Fonctions non dérivables
Aspect graphique et algébrique

Ici, f(x) = ...et = 0.
Donc = = .
Or = .

Comme tend vers +¥ quand h tend vers 0,

la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

Attention ! f n'est pas dérivable en 0 mais sa courbe représentative admet cependant une tangente (verticale) en O, c'est l'axe des ordonnées.

On observe cette fois que :

> quand x tend vers 1 en restant supérieur à 1 (on dit que x tend vers 1 par la droite), la sécante (M₀M), s'approche d'une droite T₁ de coefficient directeur 1.

> quand x tend vers 1 en restant inférieur à 1 (x tend vers 1 par la gauche), la sécante (M₀M), s'approche d'une droite T₂ de coefficient directeur -1.

Dans ce cas, on dit que la courbe F possède deux demi-tangentes en M₀, T₁ et T_2.

> Comme ces deux demi-tangentes sont différentes, la fonction f n'est pas dérivable en 1 : on dit cependant qu'elle est dérivable à gauche et à droite en 1.

Pour étudier la dérivabilité d'une fonction en x₀ :
> il faut que f soit déjà définie en 0 : si une fonction n'est pas définie en x₀,alors elle n'est évidemment pas dérivable en x₀.
Plus précisément, pour que la question de la dérivabilité d'une fonction f en x₀ puisse être posée, f doit être définie dans un intervalle ouvert contenant x₀ ou dans un intervalle dont x₀ est une borne.
> si la courbe représentant f admet une tangente verticale en x₀ alors f n'est pas dérivable en x₀.
> si la courbe admet deux demi-tangente différentes à droite et à gauche de x₀ alors f n'est pâs dérivable en x₀.
> le dernier cas de non dérivabilité d'une fonction : "si f n'est pas continue en x₀ alors f n'est pas dérivable en x₀" (Terminale) : la fonction partie entière représentée ci-dessous est dérivable pour tout réel non entier [de dérivée nulle] mais pourtant sur Z, elle n'est pas dérivable !