Pour utiliser les animations suivent, vous aurez besoin les controles activeX de géoplan soient installés. Testez votre installation de Géoplan.
Etude
sur un exemple.
La
question qui est posée
Soit
g la fonction définie par g(x) = 2x+1, g(2) = 5.
Le nombre g(x) peut-il prendre des valeurs aussi proches qu'on
le veut de 5 dès que x est assez proche de 2 ?
La
réponse algébrique
Remarquons que
g(x) - 5 = 2x + 1 - 5 = 2(x - 2). L'écart entre g(x) et 5
est donc le double de celui entre x et 2.
Il suffit donc que l'écart entre x et 2 soit infèrieur
à 0.05 pour que celui entre g(x) et 5 soit inférieur à
0.1.
De même, il suffit que l'écart entre x et 2 soit infèrieur
à 0.005 pour que celui entre g(x) et 5 soit inférieur
à 0.01.
Plus généralement, pour tout nombre e strictement positif,
dès que l'écart entre x et 2 est inférieur à
0.5e, celui entre g(x) et 5 est inférieur à
e.
La
réponse à la question posée est donc
positive.
On dit que
la limite de g(x) quand x tend vers 2 est égale
à 5.
Un outil bien
commode : les valeurs absolues.
La "distance"
(ou l'é) entre deux nombres a et b, est |a-b|. De la relation
g(x) - 5 = 2(x - 2) on déduit |g(x) - 5| = 2|x - 2|.
La propriété "dès que l'écart entre
x et 2 est inférieur à .05e, celui entre g(x)
et 5 est inférieur à e "
peut donc se traduire par " si |x - 2| <0.5e, alors
|g(x) - 5| < e ".
L'interprétation
graphique
On note G la courbe
représentative de g.
Dire que "l'écart
entre g(x) et 5 est inférieur à e" se traduit graphiquement
par le fait que le point M d'abscisse x de G appartient à la
bande horizontale H de largeur 2e centrée
en 5.
Dire que "l'écart
entre x et 2 est inférieur à 0.5e" se traduit graphiquement
par le fait que le point M d'abscisse x de G appartient à la
bande verticale V de largeur e centrée
en 2.
Dire
que la limite de g(x) quand x tend vers 2
est égale à 5, c'est donc
dire que :
quelle
que soit la la bande horizontale H centrée en 5, il existe
une bande verticale V centrée en 2 telle que les points de
G situés dans V sont aussi dans H (ils appartiennent donc
au rectangle intersection de V et de H).
Flèches
de direction pour modifier e
Un
autre exemple étudié graphiquement.
Cette
fois, la fonction g est définie par g(x) = -0.5(x-3)² +
2.
On
observe que quelle que soit la la bande horizontale
H centrée en 2, il existe une bande
verticale V centrée en 3 telle que les points de G situés
dans V sont aussi dans H (ils appartiennent donc au rectangle intersection
de V et de H).
Ce
qui se traduit par
" la limite de g(x) quand x tend vers 3 est
égale à 2".
Flèches
de direction pour modifier e
Un
exemple de fonction qui n'a pas de limite quand x tend vers x0.
La
bande horizontale centrée en 3 étant
choisie, on observe cette fois que quelle que soit la bande
verticale V centrée en 2 il y a des points de G (ceux
dont l'abscisse est inférieure à 2) situés dans
V et qui ne sont pas dans H.
La
limite de g(x) quand x tend vers 2 n'est donc pas égale à
3.
Si
on choisit un autre centre que 3 pour la bande H, on peut faire la même
observation.
On
dit dans ce cas que
la fonction g n'a pas de limite finie quand x tend vers 2.
Vous
pouvez modifier à la souris le centre de H
ainsi que les largeurs de H
et V.
