Approximation affine
d'une fonction

Géométrie - Analyse - QCM

Dérivation
Autre Déf.	Comprendre le mot limite	Interprétation Graphique	Approximation affine
Méthode Algébrique	Fonction non dérivable	Fonction dérivée

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Voici quelques question que nous pouvons nous poser...
> Approximation affine, c'est quoi ce nom barbare ?? Aucune crainte à avoir ! Une approximation affine est tout simplement une fonction (affine) qui est une valeur approchée d'une autre fonction.
Les deux exemples qui suivent ont pour objectif d'illuster ce point là.
> Comment construire une approximation affine ? Nous verrons que la notion de nombre dérivé est ici primordiale.
> A quoi cela sert ? le premier exmemple (intéressant) sera la construction de la fonction exponentielle (voir le cours et l'animation associée pour plus de précisions).
C'est aussi un premier pas vers ce qu'on appelle le développement limité...

Un exemple : étude de deux approximations affines de la fonction carrée

· Cadre de travail : la fonction f est la fonction carrée, F est sa courbe représentative. Soit M₀ le point de F d'abscisse 1.
T est la tangente en M₀ à F et t la fonction (affine) dont T est la courbe représentative, t(x) = 2x-1.
G est la droite de coefficient directeur 3 passant par M₀ et g la fonction affine dont G est la courbe représentative, g(x)=3x-2.
· Observez le tableau ci-dessous (ici, on a choisi de donner à x des valeurs supérieures à 1).

x	2	1.8	1.6	1.4	1.2	1.1	1.01
f(x)	4	3.24	2.56	1.96	1.44	1.21	1.0201
t(x)	3	2.6	2.2	1.8	1.4	1.2	1.02
g(x)	4	3.4	2.8	2.2	1.6	1.3	1.03
\|f(x)-t(x)\|	1	0.64	0.36	0.16	0.04	0.01	0.0001
\|f(x)-g(x)\|	0	0.15	0.24	0.24	0.16	0.09	0.0099

Premières conclusions : On constate que, quand x est proche de 1, t(x) et g(x) sont proches de f(x).
On traduit ces observations en disant que t(x) et g(x) sont deux approximations affines de f au voisinage de 1.

Plus précisément, l'étude des écarts entre f(x) et t(x) ainsi qu'entre f(x) et g(x) montre que t(x) semble être une [approximation] de f(x) meilleure que ne l'est g(x) et d'autant meilleure que x est plus proche de 1 (pour 1<x<1.4).

Flèches de direction pour modifier x

Etude détaillée de l'exemple précédent : erreur commise

Etude algébrique

Etude graphique

Le nombre x étant proche de 1, posons x = 1+h.
Dire de x est proche de 1 revient à dire que h est proche de 0.
En remplaçant x par 1+h dans chacune des expressions, on obtient :

x	1+h
f(x)	1+2h+h²
t(x)	1+2h
g(x)	1+3h
\|f(x)-t(x)\|	h²
\|f(x)-g(x)\|	\|h²-h\|

Quand h tend vers 0, les écarts h²et |h²-h| tendent vers 0.
De plus, quand h est proche de 0, h² est plus proche de 0 que |h²-h|
t(x), approche donc f(x) beaucoup mieux que ne le fait g(x).
Ces résultats confirment bien les observations issues des résultats numériques.

Si on "zoome" sur le point M₀, les courbes F et T finissant par se confondre à l'écran, ce qui n'est pas le cas de F et G.

Touche Z pour zoomer - R pour retour

Ces observations sont bien cohérentes avec les résultats algébriques

A retenir

Les propriétés qui suivent fournissent une méthode de construction de l'approximation affine d'une fonction. Pour plus de détails ou pour la justification de ces résultats, consultez le cours de Terminale S [chapitre dérivation] !

On admettra la propriété suivante

Si f est dérivable en x₀, alors la fonction affine dont la courbe représentative est la tangente en M₀ à F est une "bonne" approximation affine de f(x) au voisinage de x₀

Une équation de la tangente en M₀ à F est y = f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀), donc t(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀).
On peut donc énoncer

La fonction t définie par t(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀) est une "bonne" approximation affine de f(x) au voisinage de x₀ .

En remplaçant x par x₀+h, on obtient t(x₀+h) = f(x₀) + h.f'(x₀)
Donc

La fonction k définie par k(h)=f(x₀)+h.f'(x₀) est une "bonne" approximation affine de f(x₀+h) au voisinage de 0 .

Haut de page / Source : académie de Grenoble

Approximation affine d'une fonction

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